游戏的物理目标不是复刻真实世界，而是”看着对、跑得快、不出 bug”。同样一个球，扔到真实世界里要考虑空气阻力和形变，游戏里只需要位置、速度、重力这几个量。现代引擎把这一套拆成四个阶段：积分更新运动、碰撞检测找接触、碰撞响应算反弹、约束求解管关节——每个物理步循环一次，见下图。
先补三件套：位置、速度、加速度
运动学的三个量：位置 x、速度 v = dx/dt、加速度 a = dv/dt。游戏里”物体动起来”，就是每个物理步给位置加上速度、给速度加上加速度。
牛顿第二定律 F = ma 是动力学的地基：质量越大的物体，同样的力产生的加速度越小。这里”力”可以理解为”加速度来源的集合”——重力、推力、弹簧力、风，全部加总后除以质量，得到这一帧的加速度。
动量 p = mv，冲量 J = F·Δt = m·Δv。碰撞在毫秒级完成，直接用力算既不稳定也不直观，物理引擎换了个思路：在碰撞瞬间交换动量。这就是后面冲量法的由来。
积分：把连续运动切成离散步
计算机是离散的：每个物理步 dt 更新一次状态。解析解只存在于自由落体、匀速圆周这类最简单的情形，任意受力组合只能数值积分。
最朴素的是显式欧拉：先用旧速度更新位置，再用旧加速度更新速度。它有个要命的性质——能量会漂移：弹簧越弹越高，圆周轨道越转越外。原因在于位置用的是”还没被这一步加速度修正过的旧速度”。
半隐式欧拉把顺序反过来：先算 v += a·dt，再算 x += v·dt。位置用刚更新的新速度去推，虽然仍是一阶精度，但能量不漂移，轨迹稳定不爆。Box2D、Bullet 默认用它，这是游戏物理的第一课。
另一条路线是 Verlet：x_new = 2·x − x_old + a·dt²。速度被隐式地存在”前后两个位置”里，好处是约束可以直接改位置，不用碰速度。它特别适合布料、绳子、头发这类约束驱动的模拟，js13k 比赛里一大半物理 demo 都是 Verlet 写的。
void Step(float dt) {
Vec2 gravity(0.f, -9.8f);
vel += (gravity + F / mass) * dt; // 1. 先更新速度（用上一步的力）
pos += vel * dt; // 2. 再更新位置（用新速度）
}
时间步长：固定还是可变
可变 dt（每帧把真实帧时间喂给物理）看似简单，其实有两个大坑。一是帧率低时 dt 变大，积分和碰撞检测都不稳定，弹簧爆炸、子弹穿地；二是同一局游戏在不同机器上复现不出来，网络对战需要确定性时这是灾难。
标准答案是固定 dt + 累加器：把真实流逝时间累进 accumulator，每凑满一个 dt 就补跑一步物理，一帧内可能跑 0 到 N 步。这一步数必须封顶，否则机器卡的时候物理会越补越慢，陷入”死亡螺旋”——永远追不上真实时间，正确做法是超时就丢弃时间、直接掉帧。
固定步长还有个附加收益：物理步长与渲染帧率解耦后，渲染位置用相邻两个物理步插值（alpha = accumulator / dt），画面不会因为物理步和帧错位而抖动。
float accumulator = 0.f;
const float dt = 1.f / 120.f;
while (running) {
float frameTime = min(GetElapsed(), 0.25f); // 钳制，防死亡螺旋
accumulator += frameTime;
while (accumulator >= dt) { // 一帧内补 0~N 个物理步
physics.Step(dt); // 永远用固定 dt
accumulator -= dt;
}
float alpha = accumulator / dt;
Render(Lerp(prevPos, curPos, alpha)); // 渲染用插值位置
}
数值上，常见配置是 dt = 1/60 或 1/120。dt 越小越接近连续，但每步都要重新做碰撞检测和求解，成本线性上涨。Bullet 默认 1/60，怕穿模的项目会压到 1/120。
碰撞检测：粗筛、精测、防穿透
碰撞检测分两阶段。Broad Phase 粗筛：用 AABB 包围盒、空间哈希或 Sweep and Prune 快速排除明显不相交的物体对，只留”可能碰”的候选。Narrow Phase 精测：对候选对做精确相交测试，2D 常用分离轴定理（SAT），3D 常用 GJK（凸体间最近距离）+ EPA（穿透深度），凹网格先凸分解。
真正让新手抓狂的是穿透（tunneling）：小球足够快时，一帧内位移超过墙厚，离散检测在 t0、t1 两个位置都查不到墙，球就穿过去了。
解法按成本从高到低：
- CCD（连续碰撞检测）：把这一帧的运动扫成体积，先求中途碰撞时刻（TOI），精确但贵。Unity 里 Rigidbody 的 collisionDetectionMode = Continuous 走的就是扫掠。
- 子步进：把大步拆成几个小步，实现简单，但整个物理循环都变贵。
- 限制速度：钳制单帧最大位移小于最小碰撞体尺寸。游戏里最常见，因为代价是零。
- 查询代替刚体：子弹、射线这类东西用 Raycast / Sweep 查询，而不是给一个高速刚体。
碰撞响应：冲量 + 摩擦
碰撞响应只干一件事：让两个刚体在接触瞬间交换动量，产生”反弹”和”被推开”的效果。核心参数是恢复系数 e：e = 0 完全非弹性（撞上就粘住，比如一坨泥），e = 1 完全弹性（能量无损失）。
实现上沿接触法线 n 施加冲量 j：相对速度的切向分量不动，法向分量按 e 反弹。上面的公式是对心碰撞的简化版；带角度、带旋转的完整版还要算碰撞点到质心的力臂和转动惯量，但骨架就是它。
// v_rel 在接触法线 n 上的分量 vn；e 是恢复系数
float vn = Dot(vB - vA, n);
if (vn > 0.f) return; // 正在分离，不处理
float e = 0.5f; // 0：粘住，1：完全反弹
float j = -(1.f + e) * vn / (1.f / mA + 1.f / mB);
vA -= (j / mA) * n;
vB += (j / mB) * n;
摩擦在游戏里同样用冲量近似：库仑模型说摩擦力 |F_f| ≤ μ·|F_n|，静摩擦 μ_s 大于动摩擦 μ_k。引擎实现是”切向冲量”，把切向相对速度衰减到某个比例。Box2D 里每个材质给 friction 和 restitution 两个值，仅此而已。
还有一个天天在用但没人注意的细节：位置修正。刚体难免嵌进地面几个毫米，直接硬顶会抖。引擎允许一点渗透容差（slop），超出部分按比例修正位置（Baumgarte 稳定化），让刚体”被推出去”而不是”弹出去”。
约束求解：关节与 Sequential Impulse
关节在物理引擎里就是约束：距离约束（杆子）、旋转约束（铰链）、滑轨、马达，全部写成”某个量必须等于或小于某个值”的方程。
所有约束合起来是个大方程组（LCP 问题），精确解很慢，而且大量约束同时生效。工程上用 Sequential Impulse：一轮轮迭代，每轮把所有约束各解一遍，几轮后收敛到近似解。Box2D 默认速度迭代 8 次 + 位置迭代 3 次，迭代次数就是”物体看起来有多硬”的旋钮——堆箱子抖不抖、多米诺倒得顺不顺，都跟它有关。
两个配套优化：
- Warm starting：把上一帧解出的冲量当作这一帧的初值，收敛快得多，静态堆叠的物体不会每帧重新”启动”一次而晃个不停。
- 接触缓存：Broad Phase 的候选结果跨帧复用，接触点不每帧从零重建。
Verlet 那条路线更省：距离约束直接改位置——求出当前长度与期望长度的差，两端各挪一半，迭代两三遍就挺稳。布料网格、绳子、发丝全用这个，不需要解任何方程。
void SolveDistance(Verlet& a, Verlet& b, float restLen) {
Vec2 d = b.pos - a.pos;
float dist = d.Length();
float diff = (dist - restLen) / dist;
Vec2 corr = d * (0.5f * diff); // 两端各挪一半，满足"长度守恒"
a.pos += corr;
b.pos -= corr;
}
引擎选型：别自己造轮子
2D 基本只有 Box2D 一个事实标准（Erin Catto 开发，MIT 许可），Unity 2D 物理内置的就是它，Godot 也能接入。积分、两阶段检测、冲量、关节、迭代求解，全部打包成几百个 API，文档干净。
3D 三巨头：
- PhysX：NVIDIA 出品，BSD 许可，Unity 和 Unreal 的默认物理，支持 GPU 加速，3A 用量最大。
- Bullet：开源（zlib），GTA IV、Blender、PyBullet 机器人模拟都在用，CPU 性能好，带软体（布料、绳子）和车辆模型。
- Havok：商业授权，多数 3A 动作游戏的选择，角色控制器和破坏效果成熟。
新一点的选择：Jolt（Godot 4 默认，C++ 开源，性能和易用性都不错）、Bepu（C#，.NET 高性能）。选型看四个维度：维度（2D/3D）、许可证、要不要 GPU、要不要软体。
对绝大多数项目，正确姿势是直接用引擎内置物理并调参。自己写物理引擎通常是”验证学没学会”的练习，不是产品决策。
调参清单：游戏物理的主要工作量
物理引擎把”力学”部分做好了，剩下的工程问题才占大头。按现象对号入座：
- 物体不动：查质量、重力缩放、isKinematic、碰撞层（Layer / Mask）。
- 穿模：开 CCD、固定时间步、钳制最大速度、减小 dt。
- 抖动：加迭代次数、开 warm starting、固定步长 + 渲染插值。
- 卡成幻灯片：看是不是死亡螺旋，限制每帧物理步数。
- 性能：60fps 下每帧 16.6ms，物理预算通常只有 1~3ms。动态刚体越少越好，静态地形用 static 碰撞体，别每帧改碰撞体形状。
最后提醒一句：真实感不等于手感。马里奥的跳跃重力、赛车漂移的手感、角色控制器，全是把真实物理调成”玩家觉得对”的伪物理。物理引擎是手段，游戏性才是目的。
总结
游戏物理的骨架就四条：牛顿力学定运动、积分器把连续切成离散、碰撞检测找接触、约束求解管关节。理解”半隐式欧拉为什么稳””固定时间步为什么是标配””CCD 解决什么问题”，比背引擎 API 有用得多——出 bug 时你能说清楚问题出在积分、检测还是求解。
参考
- Glenn Fiedler，Fix Your Timestep!（固定时间步长的经典方案）：gafferongames.com/post/fix_your_timestep
- Erin Catto，Box2D 官网（Sequential Impulse、Warm Starting 的出处）：box2d.org
- Bullet Physics：github.com/bulletphysics/bullet3
- NVIDIA PhysX：github.com/NVIDIA-Omniverse/PhysX
- Unity 手册，Continuous Collision Detection：docs.unity3d.com
- Wikipedia：Verlet integration、Semi-implicit Euler method
- Ian Millington，Game Physics Engine Development（中译《游戏物理引擎开发》，清华大学出版社）
- SIGGRAPH ASIA 课程，Practical Rigid Body Physics for Games（冲量法与迭代求解的工程细节）
